Pembahasan Soal OSK SMA 2018 - BIMBEL PRIVAT SURABAYA

Pembahasan SoalOSK SMA 2018OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018OSK Matematika SMA(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)Disusun oleh:Pak Anang

Pembahasan SoalOSK SMA 2018OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018OSK Matematika SMA(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)Disusun oleh:Pak Anang

Halaman 3 dari 29PEMBAHASAN SOALOLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMATINGKAT KABUPATEN/KOTA28 Februari 2018By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)1.Misalkan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎. Jika ketiga bilangan tersebut merupakanbilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (𝑥 𝑎)(𝑥 𝑏) (𝑥 𝑏)(𝑥 𝑐) 0 yang mungkin adalah .Pembahasan:Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.(𝑥 𝑎)(𝑥 𝑏) (𝑥 𝑏)(𝑥 𝑐) 02 𝑥 (𝑎 𝑏)𝑥 𝑎𝑏 𝑥 2 (𝑏 𝑐)𝑥 𝑏𝑐 0 2𝑥 2 (𝑎 2𝑏 𝑐)𝑥 (𝑎𝑏 𝑏𝑐) 0Sehingga, jika akar-akar dari persamaan kuadrat 𝑥 2 (𝑎 2𝑏 𝑐)𝑥 (𝑎𝑏 𝑏𝑐) 0 adalah 𝑥1dan 𝑥2 , maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:𝑎 2𝑏 𝑐𝑥1 𝑥2 2Perhatikan juga bahwa 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga 𝑎 2𝑏 𝑐 akanmaksimum apabila 𝑏 adalah bilangan terbesar dan 𝑎, 𝑐 masing-masing dipilih bilangan satu digitberurutan yang lebih kecil dari 𝑏.Sehingga apabila 𝑏 9 dan masing-masing 𝑎 atau 𝑐 adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akarakar persamaan kuadrat tersebut adalah𝑎 2𝑏 𝑐 33𝑥1 𝑥2 22TRIK SUPERKILAT:Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.(𝑥 𝑎)(𝑥 𝑏) (𝑥 𝑏)(𝑥 𝑐) 0(𝑥 𝑏)(2𝑥 (𝑎 𝑐)) 0 𝑎 𝑐 𝑥1 𝑏 atau 𝑥2 2Sehingga, diperoleh jumlah akar-akarnya adalah𝑥1 𝑥2 𝑏 𝑎 𝑐2𝑎 𝑐Dengan mudah kita tahu bahwa 𝑏 2 akan maksimum apabila 𝑏 merupakan bilangan terbesaryaitu 9. Jadi, 𝑎 atau 𝑐 adalah 7 atau 8, begitu juga sebaliknya.𝑥1 𝑥2 𝑏 𝑎 𝑐15 9 9 7,5 16,522Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4 dari 292.Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan 𝑁adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus: untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genapNilai 𝑁 adalah .Pembahasan:Perhatikan tabel 2 2 berikut!𝑎𝑐𝑏𝑑Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, makadiperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama.Perhatikan juga bahwa 𝑎, 𝑏, 𝑐, atau 𝑑 hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3.Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus: untuk 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan ganjilmaka ada tiga kemungkinan- keempat bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan yang sama, sebanyak 2 𝐶1 2 cara.4!- diantara bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ada tiga bilangan yang sama, sebanyak 3! 2 𝐶1 8 cara. 4!diantara bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ada dua bilangan yang sama, sebanyak 2!2! 6 cara.untuk 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan genapmaka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan 2. Sehinggaada sebanyak 1 cara.Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak 2 8 6 1 17 cara.TRIK SUPERKILAT:Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus: Kasus pertama: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan ganjil.44444Banyak kejadian adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 1601234 Kasus kedua: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan genap.Hanya ada satu kemungkinan, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan 2.Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak 16 1 17 cara.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 5 dari 293.Diberikan persegi berukuran 3 3 satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah .Pembahasan:Perhatikan gambar berikut!𝐶𝐼𝐻𝐺𝐽𝐷 𝐹𝐴𝐾𝐸𝐵Perhatikan, karena 𝐴𝐵 𝐷𝐸, maka 𝐶𝐴𝐵 𝐶𝐷𝐸 sehingga diperoleh perbandingan𝐶𝐸 𝐷𝐸𝐶𝐸24 𝐷𝐸 𝐴𝐵 2 𝐶𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐵33Sehingga, karena 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐹𝐸, dan 𝐹𝐸 1, maka diperoleh41𝐷𝐹 𝐷𝐸 𝐹𝐸 1 33Perhatikan, karena 𝐷𝐹𝐺 𝐴𝐵𝐶 sehingga diperoleh perbandingan1𝐹𝐺 𝐷𝐹𝐷𝐹1 𝐹𝐺 𝐵𝐶 3 3 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐴𝐵2211 1 11Jadi, [𝐷𝐹𝐺] 2 𝐷𝐹 𝐹𝐺 2 3 2 12111Sehingga, [𝐷𝐺𝐻𝐼𝐽] [𝐹𝐻𝐼𝐽] [𝐷𝐹𝐺] 1 12 12.TRIK SUPERKILAT:11 211Perhatikan bahwa 𝐷𝐹𝐺 𝐴𝐵𝐶, sehingga karena 𝐷𝐹 6 𝐴𝐵, maka [𝐷𝐹𝐺] (6) 2 2 3 12.111Sehingga [𝐷𝐺𝐻𝐼𝐽] 1 12 12.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 6 dari 294.Parabola 𝑦 𝑎𝑥 2 4 dan 𝑦 8 𝑏𝑥 2 memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik.Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai 𝑎 𝑏 adalah .Pembahasan:Perhatikan, titik potong parabola 𝑦 𝑎𝑥 2 4 pada sumbu Y adalah di titik (0, 4). Sedangkan, titikpotong parabola 𝑦 8 𝑏𝑥 2 pada sumbu Y adalah di titik (0, 8).Perhatikan juga, agar dapat diperoleh dua titik lagi sebagai titik-titik sudut layang-layang yang lain,maka titik potong parabola 𝑦 𝑎𝑥 2 4 dan 𝑦 8 𝑏𝑥 2 pada sumbu X seharusnya adalah padatitik yang sama, sehingga dapat disimpulkan kedua kurva berpotongan di sumbu X.Sehingga, titik potong di sumbu X dapat ditentukan dengan𝑦1 𝑦22 𝑎𝑥 4 8 𝑏𝑥 2 (𝑎 𝑏)𝑥 2 12 0 12𝑥 𝑎 𝑏1212Jadi, titik potong kedua parabola pada sumbu X adalah di titik ( 𝑎 𝑏 , 0) dan ( 𝑎 𝑏 , 0).Padahal, luas layang-layang adalah 24, sehingga1𝐿 𝑑1 𝑑22 24 11212 8 ( 4) ( ) 2𝑎 𝑏𝑎 𝑏 24 112 12 2 2𝑎 𝑏 122 𝑎 𝑏12𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 3 4 Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7 dari 295.Untuk setiap bilangan asli 𝑛 didefinisikan 𝑠(𝑛) sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digitdari 𝑛. Banyaknya bilangan asli 𝑑 sehingga 𝑑 habis membagi 𝑛 𝑠(𝑛) untuk setiap bilangan asli 𝑛adalah .Pembahasan:Perhatikan, bilangan asli 𝑛 dapat dinyatakan sebagai 𝑛 𝑎0 100 𝑎1 101 𝑎2 102 , makajika 𝑠(𝑛) didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari 𝑛, maka diperoleh𝑠(𝑛) 𝑎0 𝑎1 𝑎2 Misal, 𝑝 𝑛 𝑠(𝑛), maka𝑝 𝑛 𝑠(𝑛) (𝑎0 100 𝑎1 101 𝑎2 102 ) (𝑎0 𝑎1 𝑎2 ) 𝑎0 (100 1) 𝑎1 (101 1) 𝑎2 (102 1) 9𝑎1 99𝑎2 999𝑎3 9(𝑎1 11𝑎2 111𝑎3 )Sehingga, 9 𝑛 𝑠(𝑛). Jadi bilangan asli 𝑑 adalah faktor bulat positif dari 9, yaitu 1, 3, dan 9.Jadi, ada sebanyak 3 buah bilangan 𝑑 yang memenuhi.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 8 dari 296.Diketahui 𝑥 dan 𝑦 bilangan prima dengan 𝑥 𝑦, dan 𝑥 3 𝑦 3 2018 30𝑦 2 300𝑦 3018. Nilai𝑥 yang memenuhi .Pembahasan:Perhatikan,𝑥 3 𝑦 3 2018 30𝑦 2 300𝑦 3018 𝑥 3 𝑦 3 30𝑦 2 300𝑦 1000 0 𝑥 3 (𝑦 10)3 0Sehingga, diperoleh𝑥 (𝑦 10) 𝑥 𝑦 10Karena, 𝑥, 𝑦 adalah bilangan prima, maka dua buah bilangan prima yang jumlahnya 10 adalah 3 dan7. Mengingat 𝑥 𝑦, sehingga dapat diperoleh 𝑥 3 dan 𝑦 7.Jadi, 𝑥 yang memenuhi adalah 3.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 9 dari 297.Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecilmerupakan kelipatan 3, sedangkan lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlahsemua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah .Pembahasan:Perhatikan, misal kedua bilangan tersebut adalah 𝑥 dan 𝑦, karena 𝑥 adalah bilangan kelipatan 7 dan𝑦 adalah bilangan kelipatan 3, maka untuk 𝑚 dan 𝑛 adalah suatu bilangan asli, 𝑥 dan 𝑦 dapatdinyatakan sebagai𝑥 7𝑚𝑦 3𝑛Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan 𝑥 𝑦, maka 𝑥 𝑦 10. Ini sama saja denganpersamaan 7𝑚 3𝑛 10.Nilai 𝑚 dan 𝑛 dapat ditentukan menggunakan pembalikan algoritma Euclid, yaitu7 2 3 1Sehingga,1 7 2 3Dengan mengalikan 10 kedua ruas diperoleh10 70 60Sehingga, diperoleh 𝑚 10 dan 𝑛 20.Sehingga, solusi umumnya adalah𝑚 10 3𝑡 𝑥 70 21𝑡𝑛 20 7𝑡 𝑦 60 21𝑡Diperoleh pasangan bilangan dua digit 𝑥, 𝑦 yang memenuhi adalah(𝑥, 𝑦) {(28, 18), (49, 39), (70, 60), (91, 81)}Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima 𝑥 dan y adalah 17, maka 17 3 𝑝 𝑞 7.Maka 𝑝 𝑞 7, sehingga bilangan prima 𝑝, 𝑞 yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Sehingga, jelas diantara pasangan 𝑥, 𝑦 yang memiliki faktor prima 5 hanyalah 𝑥 70 dan 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah 𝑥 𝑦 70 60 130.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 10 dari 29TRIK SUPERKILAT 1:Perhatikan, 𝑥 0 (mod 7) dan 𝑦 0 (mod 3). Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan 𝑥 𝑦,maka 𝑥 𝑦 10, sehingga𝑦 𝑥 10 0 (mod 3) 𝑥 1 (mod 3) 𝑥 3𝑡 1Sehingga,𝑥 3𝑡 1 0 (mod 7) 3𝑡 6 (mod 7) 3𝑡 7𝑢 6Diperoleh, 𝑥 21𝑢 7 dan nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 𝑥 {28, 49, 70, 91}Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima 𝑥 dan 𝑦 adalah 17, maka 17 3 𝑝 𝑞 7.Maka 𝑝 𝑞 7, sehingga bilangan prima 𝑝, 𝑞 yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Sehingga, diantara pasangan 𝑥, 𝑦 yang memiliki faktor prima 5 hanyalah 𝑥 70, akibatnya 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah 𝑥 𝑦 70 60 130.TRIK SUPERKILAT 2 (LOGIKA PRAKTIS):Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima 𝑥 dan 𝑦 adalah 17, maka 17 3 𝑝 𝑞 7.Maka 𝑝 𝑞 7, sehingga bilangan prima 𝑝, 𝑞 yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah 𝑥 7(2𝑎 3𝑏 5𝑐 7𝑑 ) dan 𝑦 3(2𝑘 3𝑙 5𝑚 7𝑛 ) .LOGIKA: 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari 𝑥 atau 𝑦. Mengingat 𝑥 𝑦 10, suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilanganyang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pastimenjadi faktor dari baik 𝑥 maupun 𝑦.Sehingga dengan cara mendaftar kemungkinan secara manual:𝑥 35𝑡 35, 70𝑦 15𝑢 15, 30, 45, 60, 90Jelas yang memenuhi 𝑥 𝑦 10, adalah 𝑥 70 dan 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah 𝑥 𝑦 70 60 130.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 11 dari 29TRIK SUPERKILAT 3 (LOGIKA PRAKTIS):Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima 𝑥 dan 𝑦 adalah 17, maka 17 3 𝑝 𝑞 7.Maka 𝑝 𝑞 7, sehingga bilangan prima 𝑝, 𝑞 yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah 𝑥 7(2𝑎 3𝑏 5𝑐 7𝑑 ) dan 𝑦 3(2𝑘 3𝑙 5𝑚 7𝑛 ) .LOGIKA: 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari 𝑥 atau 𝑦. Mengingat 𝑥 𝑦 10, suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilanganyang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pastimenjadi faktor dari baik 𝑥 maupun 𝑦. Karena 2 belum menjadi faktor dari masing-masing bilangan, maka 2 pasti juga menjadi faktordari salah satu bilangan. Dan karena selisihnya 10, merupakan kelipatan 10, berarti bilanganlain juga kelipatan 2. Akibatnya karena 2 dan 5 adalah faktor setiap bilangan, maka keduanya adalah kelipatan 10.Sehingga, kemungkinan yang terjadi hanyalah𝑥 70𝑡 70𝑦 30𝑢 30, 60Jelas yang memenuhi 𝑥 𝑦 10, adalah 𝑥 70 dan 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah 𝑥 𝑦 70 60 130.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)