Pembahasan Soal OSK SMA 2018 - BIMBEL PRIVAT SURABAYA

11m ago
211 Views
94 Downloads
1.11 MB
29 Pages
Last View : 4d ago
Last Download : 4d ago
Upload by : Esmeralda Toy
Transcription

Pembahasan SoalOSK SMA 2018OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018OSK Matematika SMA(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)Disusun oleh:Pak Anang

Pembahasan SoalOSK SMA 2018OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018OSK Matematika SMA(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)Disusun oleh:Pak Anang

Halaman 3 dari 29PEMBAHASAN SOALOLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMATINGKAT KABUPATEN/KOTA28 Februari 2018By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)1.Misalkan π‘Ž, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan π‘π‘’π‘Ÿπ‘π‘’π‘‘π‘Ž. Jika ketiga bilangan tersebut merupakanbilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (π‘₯ π‘Ž)(π‘₯ 𝑏) (π‘₯ 𝑏)(π‘₯ 𝑐) 0 yang mungkin adalah .Pembahasan:Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.(π‘₯ π‘Ž)(π‘₯ 𝑏) (π‘₯ 𝑏)(π‘₯ 𝑐) 02 π‘₯ (π‘Ž 𝑏)π‘₯ π‘Žπ‘ π‘₯ 2 (𝑏 𝑐)π‘₯ 𝑏𝑐 0 2π‘₯ 2 (π‘Ž 2𝑏 𝑐)π‘₯ (π‘Žπ‘ 𝑏𝑐) 0Sehingga, jika akar-akar dari persamaan kuadrat π‘₯ 2 (π‘Ž 2𝑏 𝑐)π‘₯ (π‘Žπ‘ 𝑏𝑐) 0 adalah π‘₯1dan π‘₯2 , maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:π‘Ž 2𝑏 𝑐π‘₯1 π‘₯2 2Perhatikan juga bahwa π‘Ž, 𝑏, dan 𝑐 adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga π‘Ž 2𝑏 𝑐 akanmaksimum apabila 𝑏 adalah bilangan terbesar dan π‘Ž, 𝑐 masing-masing dipilih bilangan satu digitberurutan yang lebih kecil dari 𝑏.Sehingga apabila 𝑏 9 dan masing-masing π‘Ž atau 𝑐 adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akarakar persamaan kuadrat tersebut adalahπ‘Ž 2𝑏 𝑐 33π‘₯1 π‘₯2 22TRIK SUPERKILAT:Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.(π‘₯ π‘Ž)(π‘₯ 𝑏) (π‘₯ 𝑏)(π‘₯ 𝑐) 0(π‘₯ 𝑏)(2π‘₯ (π‘Ž 𝑐)) 0 π‘Ž 𝑐 π‘₯1 𝑏 atau π‘₯2 2Sehingga, diperoleh jumlah akar-akarnya adalahπ‘₯1 π‘₯2 𝑏 π‘Ž 𝑐2π‘Ž 𝑐Dengan mudah kita tahu bahwa 𝑏 2 akan maksimum apabila 𝑏 merupakan bilangan terbesaryaitu 9. Jadi, π‘Ž atau 𝑐 adalah 7 atau 8, begitu juga sebaliknya.π‘₯1 π‘₯2 𝑏 π‘Ž 𝑐15 9 9 7,5 16,522Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4 dari 292.Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan 𝑁adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus: untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genapNilai 𝑁 adalah .Pembahasan:Perhatikan tabel 2 2 berikut!π‘Žπ‘π‘π‘‘Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, makadiperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama.Perhatikan juga bahwa π‘Ž, 𝑏, 𝑐, atau 𝑑 hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3.Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus: untuk π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan ganjilmaka ada tiga kemungkinan- keempat bilangan π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan yang sama, sebanyak 2 𝐢1 2 cara.4!- diantara bilangan π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ada tiga bilangan yang sama, sebanyak 3! 2 𝐢1 8 cara. 4!diantara bilangan π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ada dua bilangan yang sama, sebanyak 2!2! 6 cara.untuk π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan genapmaka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan 2. Sehinggaada sebanyak 1 cara.Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak 2 8 6 1 17 cara.TRIK SUPERKILAT:Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus: Kasus pertama: π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan ganjil.44444Banyak kejadian adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 1601234 Kasus kedua: π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan genap.Hanya ada satu kemungkinan, yaitu π‘Ž, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah bilangan 2.Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak 16 1 17 cara.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 5 dari 293.Diberikan persegi berukuran 3 3 satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah .Pembahasan:Perhatikan gambar berikut!𝐢𝐼𝐻𝐺𝐽𝐷 𝐹𝐴𝐾𝐸𝐡Perhatikan, karena 𝐴𝐡 𝐷𝐸, maka 𝐢𝐴𝐡 𝐢𝐷𝐸 sehingga diperoleh perbandingan𝐢𝐸 𝐷𝐸𝐢𝐸24 𝐷𝐸 𝐴𝐡 2 𝐢𝐡 𝐴𝐡𝐢𝐡33Sehingga, karena 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐹𝐸, dan 𝐹𝐸 1, maka diperoleh41𝐷𝐹 𝐷𝐸 𝐹𝐸 1 33Perhatikan, karena 𝐷𝐹𝐺 𝐴𝐡𝐢 sehingga diperoleh perbandingan1𝐹𝐺 𝐷𝐹𝐷𝐹1 𝐹𝐺 𝐡𝐢 3 3 𝐡𝐢 𝐴𝐡𝐴𝐡2211 1 11Jadi, [𝐷𝐹𝐺] 2 𝐷𝐹 𝐹𝐺 2 3 2 12111Sehingga, [𝐷𝐺𝐻𝐼𝐽] [𝐹𝐻𝐼𝐽] [𝐷𝐹𝐺] 1 12 12.TRIK SUPERKILAT:11 211Perhatikan bahwa 𝐷𝐹𝐺 𝐴𝐡𝐢, sehingga karena 𝐷𝐹 6 𝐴𝐡, maka [𝐷𝐹𝐺] (6) 2 2 3 12.111Sehingga [𝐷𝐺𝐻𝐼𝐽] 1 12 12.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 6 dari 294.Parabola 𝑦 π‘Žπ‘₯ 2 4 dan 𝑦 8 𝑏π‘₯ 2 memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik.Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai π‘Ž 𝑏 adalah .Pembahasan:Perhatikan, titik potong parabola 𝑦 π‘Žπ‘₯ 2 4 pada sumbu Y adalah di titik (0, 4). Sedangkan, titikpotong parabola 𝑦 8 𝑏π‘₯ 2 pada sumbu Y adalah di titik (0, 8).Perhatikan juga, agar dapat diperoleh dua titik lagi sebagai titik-titik sudut layang-layang yang lain,maka titik potong parabola 𝑦 π‘Žπ‘₯ 2 4 dan 𝑦 8 𝑏π‘₯ 2 pada sumbu X seharusnya adalah padatitik yang sama, sehingga dapat disimpulkan kedua kurva berpotongan di sumbu X.Sehingga, titik potong di sumbu X dapat ditentukan dengan𝑦1 𝑦22 π‘Žπ‘₯ 4 8 𝑏π‘₯ 2 (π‘Ž 𝑏)π‘₯ 2 12 0 12π‘₯ π‘Ž 𝑏1212Jadi, titik potong kedua parabola pada sumbu X adalah di titik ( π‘Ž 𝑏 , 0) dan ( π‘Ž 𝑏 , 0).Padahal, luas layang-layang adalah 24, sehingga1𝐿 𝑑1 𝑑22 24 11212 8 ( 4) ( ) 2π‘Ž π‘π‘Ž 𝑏 24 112 12 2 2π‘Ž 𝑏 122 π‘Ž 𝑏12π‘Ž 𝑏 π‘Ž 𝑏 3 4 Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7 dari 295.Untuk setiap bilangan asli 𝑛 didefinisikan 𝑠(𝑛) sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digitdari 𝑛. Banyaknya bilangan asli 𝑑 sehingga 𝑑 habis membagi 𝑛 𝑠(𝑛) untuk setiap bilangan asli 𝑛adalah .Pembahasan:Perhatikan, bilangan asli 𝑛 dapat dinyatakan sebagai 𝑛 π‘Ž0 100 π‘Ž1 101 π‘Ž2 102 , makajika 𝑠(𝑛) didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari 𝑛, maka diperoleh𝑠(𝑛) π‘Ž0 π‘Ž1 π‘Ž2 Misal, 𝑝 𝑛 𝑠(𝑛), maka𝑝 𝑛 𝑠(𝑛) (π‘Ž0 100 π‘Ž1 101 π‘Ž2 102 ) (π‘Ž0 π‘Ž1 π‘Ž2 ) π‘Ž0 (100 1) π‘Ž1 (101 1) π‘Ž2 (102 1) 9π‘Ž1 99π‘Ž2 999π‘Ž3 9(π‘Ž1 11π‘Ž2 111π‘Ž3 )Sehingga, 9 𝑛 𝑠(𝑛). Jadi bilangan asli 𝑑 adalah faktor bulat positif dari 9, yaitu 1, 3, dan 9.Jadi, ada sebanyak 3 buah bilangan 𝑑 yang memenuhi.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 8 dari 296.Diketahui π‘₯ dan 𝑦 bilangan prima dengan π‘₯ 𝑦, dan π‘₯ 3 𝑦 3 2018 30𝑦 2 300𝑦 3018. Nilaiπ‘₯ yang memenuhi .Pembahasan:Perhatikan,π‘₯ 3 𝑦 3 2018 30𝑦 2 300𝑦 3018 π‘₯ 3 𝑦 3 30𝑦 2 300𝑦 1000 0 π‘₯ 3 (𝑦 10)3 0Sehingga, diperolehπ‘₯ (𝑦 10) π‘₯ 𝑦 10Karena, π‘₯, 𝑦 adalah bilangan prima, maka dua buah bilangan prima yang jumlahnya 10 adalah 3 dan7. Mengingat π‘₯ 𝑦, sehingga dapat diperoleh π‘₯ 3 dan 𝑦 7.Jadi, π‘₯ yang memenuhi adalah 3.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 9 dari 297.Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecilmerupakan kelipatan 3, sedangkan lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlahsemua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah .Pembahasan:Perhatikan, misal kedua bilangan tersebut adalah π‘₯ dan 𝑦, karena π‘₯ adalah bilangan kelipatan 7 dan𝑦 adalah bilangan kelipatan 3, maka untuk π‘š dan 𝑛 adalah suatu bilangan asli, π‘₯ dan 𝑦 dapatdinyatakan sebagaiπ‘₯ 7π‘šπ‘¦ 3𝑛Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan π‘₯ 𝑦, maka π‘₯ 𝑦 10. Ini sama saja denganpersamaan 7π‘š 3𝑛 10.Nilai π‘š dan 𝑛 dapat ditentukan menggunakan pembalikan algoritma Euclid, yaitu7 2 3 1Sehingga,1 7 2 3Dengan mengalikan 10 kedua ruas diperoleh10 70 60Sehingga, diperoleh π‘š 10 dan 𝑛 20.Sehingga, solusi umumnya adalahπ‘š 10 3𝑑 π‘₯ 70 21𝑑𝑛 20 7𝑑 𝑦 60 21𝑑Diperoleh pasangan bilangan dua digit π‘₯, 𝑦 yang memenuhi adalah(π‘₯, 𝑦) {(28, 18), (49, 39), (70, 60), (91, 81)}Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima π‘₯ dan y adalah 17, maka 17 3 𝑝 π‘ž 7.Maka 𝑝 π‘ž 7, sehingga bilangan prima 𝑝, π‘ž yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Sehingga, jelas diantara pasangan π‘₯, 𝑦 yang memiliki faktor prima 5 hanyalah π‘₯ 70 dan 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah π‘₯ 𝑦 70 60 130.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 10 dari 29TRIK SUPERKILAT 1:Perhatikan, π‘₯ 0 (mod 7) dan 𝑦 0 (mod 3). Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan π‘₯ 𝑦,maka π‘₯ 𝑦 10, sehingga𝑦 π‘₯ 10 0 (mod 3) π‘₯ 1 (mod 3) π‘₯ 3𝑑 1Sehingga,π‘₯ 3𝑑 1 0 (mod 7) 3𝑑 6 (mod 7) 3𝑑 7𝑒 6Diperoleh, π‘₯ 21𝑒 7 dan nilai π‘₯ yang memenuhi adalah π‘₯ {28, 49, 70, 91}Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima π‘₯ dan 𝑦 adalah 17, maka 17 3 𝑝 π‘ž 7.Maka 𝑝 π‘ž 7, sehingga bilangan prima 𝑝, π‘ž yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Sehingga, diantara pasangan π‘₯, 𝑦 yang memiliki faktor prima 5 hanyalah π‘₯ 70, akibatnya 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah π‘₯ 𝑦 70 60 130.TRIK SUPERKILAT 2 (LOGIKA PRAKTIS):Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima π‘₯ dan 𝑦 adalah 17, maka 17 3 𝑝 π‘ž 7.Maka 𝑝 π‘ž 7, sehingga bilangan prima 𝑝, π‘ž yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah π‘₯ 7(2π‘Ž 3𝑏 5𝑐 7𝑑 ) dan 𝑦 3(2π‘˜ 3𝑙 5π‘š 7𝑛 ) .LOGIKA: 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari π‘₯ atau 𝑦. Mengingat π‘₯ 𝑦 10, suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilanganyang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pastimenjadi faktor dari baik π‘₯ maupun 𝑦.Sehingga dengan cara mendaftar kemungkinan secara manual:π‘₯ 35𝑑 35, 70𝑦 15𝑒 15, 30, 45, 60, 90Jelas yang memenuhi π‘₯ 𝑦 10, adalah π‘₯ 70 dan 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah π‘₯ 𝑦 70 60 130.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 11 dari 29TRIK SUPERKILAT 3 (LOGIKA PRAKTIS):Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima π‘₯ dan 𝑦 adalah 17, maka 17 3 𝑝 π‘ž 7.Maka 𝑝 π‘ž 7, sehingga bilangan prima 𝑝, π‘ž yang memenuhi hanyalah 2 dan 5.Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah π‘₯ 7(2π‘Ž 3𝑏 5𝑐 7𝑑 ) dan 𝑦 3(2π‘˜ 3𝑙 5π‘š 7𝑛 ) .LOGIKA: 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari π‘₯ atau 𝑦. Mengingat π‘₯ 𝑦 10, suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilanganyang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pastimenjadi faktor dari baik π‘₯ maupun 𝑦. Karena 2 belum menjadi faktor dari masing-masing bilangan, maka 2 pasti juga menjadi faktordari salah satu bilangan. Dan karena selisihnya 10, merupakan kelipatan 10, berarti bilanganlain juga kelipatan 2. Akibatnya karena 2 dan 5 adalah faktor setiap bilangan, maka keduanya adalah kelipatan 10.Sehingga, kemungkinan yang terjadi hanyalahπ‘₯ 70𝑑 70𝑦 30𝑒 30, 60Jelas yang memenuhi π‘₯ 𝑦 10, adalah π‘₯ 70 dan 𝑦 60.Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah π‘₯ 𝑦 70 60 130.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 12 dari 298.Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka1adalah . Jika ditos 𝑛 kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga4angka. Nilai 𝑛 adalah .Pembahasan:Perhatikan, dengan menggunakan konsep distribusi binomial, misal 𝑝 peluang kejadian muncul13angka, maka 𝑝 4 dan 1 𝑝 4.Apabila satu koin ditos 𝑛 kali, maka peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncultepat tiga angka dapat dinyatakan sebagai𝑃(𝑋 2) 𝑃(𝑋 3)2 (1 𝑝)(𝑛 2) 𝑛 𝐢3 𝑝3 (1 𝑝)(𝑛 3)𝑛 𝐢2 𝑝 𝑛!1 2 3 (𝑛 2)𝑛!1 3 3 (𝑛 3) ( ) ( ) ( ) ( )(𝑛 2)! 2! 4(𝑛 3)! 3! 444𝑛 (𝑛 1) (𝑛 2)! 3 𝑛 (𝑛 1) (𝑛 2) (𝑛 3)! 1 (𝑛 2)! 2(𝑛 3)! 3!443 𝑛 2 26 18 2𝑛 4 22 2𝑛 𝑛 11 Jadi, nilai 𝑛 yang memenuhi adalah 11.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 13 dari 299.Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis beratdari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah .Pembahasan:Perhatikan gambar segitiga berikut𝐢𝐸π‘₯𝐴π‘₯𝐷π‘₯𝐡𝐢𝐷 merupakan garis berat dan 𝐴𝐸 merupakan garis bagi, keduanya berpotongan saling tegak lurus.Perhatikan segitiga 𝐴𝐷𝐢 sama kaki, sehingga 𝐴𝐷 𝐴𝐢. Misal 𝐴𝐷 𝐴𝐢 𝐷𝐡 π‘₯.Perhatikan juga, karena sisi-sisi segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan, maka selisih daridua sisi segitiga adalah 1 atau 2.Kasus pertama, selisih dua sisi segitiga adalah 1, sehingga 2π‘₯ π‘₯ 1 π‘₯ 1Karena π‘₯ 1, maka 𝑏 1, 𝑐 2, sehingga π‘Ž 0, tidak memenuhi karena sisi segitiga tidak mungkin nol π‘Ž 3, tidak mungkin karena tidak memenuhi ketaksamaan 𝑏 𝑐 π‘ŽKasus kedua, selisih dua sisi segitiga adalah 2, sehingga 2π‘₯ π‘₯ 2 π‘₯ 2Karena π‘₯ 2, maka 𝑏 2, 𝑐 4, sehingga π‘Ž 3, memenuhi.Sehingga, sisi segitiga adalah π‘Ž 3, 𝑏 2, 𝑐 4.Jadi keliling segitiga adalah π‘Ž 𝑏 𝑐 3 2 4 9.TRIK SUPERKILAT:Perhatikan, karena panjang sisi-sisi segitiga adalah bilangan asli yang berurutan, dan dari gambarkita tahu bahwa 𝐴𝐡 2 𝐴𝐢.Jadi, kemungkinan tiga bilangan urut, dimana salah satunya adalah dua kali dari yang lain adalah: 1, 2, 3Namun karena 1 2 3, maka jelas segitiga ini tidak memenuhi ketaksamaan segitiga. 2, 3, 4Benar, bahwa 2 3 4, maka jelas segitiga ini memenuhi ketaksamaan segitiga.Jadi, keliling segitiga adalah 2 3 4 9.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 14 dari 2910. Diberikan suku banyak 𝑝(π‘₯) dengan 𝑝(π‘₯)2 𝑝(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 2 untuk setiap bilangan real π‘₯. Jika𝑝(1) 1 maka jumlah semua nilai 𝑝(10) yang mungkin adalah .Pembahasan:Perhatikan, anggap 𝑝(π‘₯) π‘Žπ‘₯ 𝑛 π‘ž(π‘₯), π‘Ž 0, π‘ž(π‘₯) suku banyak derajat π‘˜ dengan 0 π‘˜ 𝑛, maka𝑝(π‘₯)2 𝑝(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 22 (π‘Žπ‘₯ 𝑛 π‘ž(π‘₯)) (π‘Ž(π‘₯ 2 )𝑛 π‘ž(π‘₯ 2 )) 2π‘₯ 2 π‘Ž2 π‘₯ 2𝑛 2π‘Žπ‘₯ 𝑛 π‘ž(π‘₯) π‘ž(π‘₯)2 π‘Žπ‘₯ 2𝑛 π‘ž(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 2 (π‘Ž2 π‘Ž)π‘₯ 2𝑛 2π‘Žπ‘₯ 𝑛 π‘ž(π‘₯) π‘ž(π‘₯)2 π‘ž(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 2Sehingga, dengan memperhatikan kesamaan di atas, maka kemungkinan yang terjadi adalah (π‘Ž2 π‘Ž)π‘₯ 2𝑛 2π‘₯ 2 , maka 𝑛 1 dengan π‘Ž2 π‘Ž 2. (π‘Ž2 π‘Ž)π‘₯ 2𝑛 2π‘Žπ‘₯ 𝑛 π‘ž(π‘₯) 2π‘₯ 2 , apabila π‘Ž2 π‘Ž 0 maka 𝑛 π‘˜ 2.Perhatikan, 𝑛 π‘˜ 2 π‘˜ 2 𝑛, maka0 π‘˜ 𝑛 0 2 𝑛 𝑛 𝑛 2 2𝑛 1 𝑛 2Jelas bahwa 𝑛 2.Jadi, suku banyak 𝑝(π‘₯)2 𝑝(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 2 , agar kesamaan berlaku maka 𝑝(π‘₯) adalah suku banyak berderajat satu. 𝑝(π‘₯) adalah suku banyak berderajat dua.Kasus pertama, 𝑝(π‘₯) adalah suku banyak berderajat satu.Misal, 𝑝(π‘₯) π‘Žπ‘₯ 𝑏, π‘Ž 0, maka𝑝(π‘₯)2 𝑝(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 2(π‘Žπ‘₯ 𝑏)2 (π‘Žπ‘₯ 2 𝑏) 2π‘₯ 2 π‘Ž2 π‘₯ 2 2π‘Žπ‘π‘₯ 𝑏 2 π‘Žπ‘₯ 2 𝑏 2π‘₯ 2 (π‘Ž2 π‘Ž)π‘₯ 2 2π‘Žπ‘π‘₯ (𝑏 2 𝑏) 2π‘₯ 2Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh2π‘Žπ‘ 0 π‘Ž 0 (𝑇𝑀) atau 𝑏 0π‘Ž2 π‘Ž 2 π‘Ž2 π‘Ž 2 0 (π‘Ž 2)(π‘Ž 1) 0 π‘Ž 2 atau π‘Ž 1Dari kasus ini 𝑝(π‘₯) yang memenuhi hanya jika 𝑏 0, sehingga Apabila π‘Ž 2, jadi 𝑝(π‘₯) yang memenuhi adalah 𝑝(π‘₯) 2π‘₯, sehingga karena 𝑝(1) 2 1,maka 𝑝(10) 2(10) 20. Apabila π‘Ž 1, jadi 𝑝(π‘₯) yang memenuhi adalah 𝑝(π‘₯) π‘₯, sehingga karena 𝑝(1) 1, danmengingat 𝑝(1) 1, maka 𝑝(π‘₯) π‘₯ tidak memenuhi. Sehingga tidak ada nilai 𝑝(10) yangmemenuhi.Kasus kedua, 𝑝(π‘₯) adalah suku banyak berderajat dua.Misal, 𝑝(π‘₯) π‘Žπ‘₯ 2 𝑏π‘₯ 𝑐, π‘Ž 0 maka𝑝(π‘₯)2 𝑝(π‘₯ 2 ) 2π‘₯ 2(π‘Žπ‘₯ 2 𝑏π‘₯ 𝑐)2 (π‘Žπ‘₯ 4 𝑏π‘₯ 2 𝑐) 2π‘₯ 2 2 4432 2 π‘Ž π‘₯ π‘Žπ‘₯ 2π‘Žπ‘π‘₯ 𝑏 π‘₯ 2π‘Žπ‘π‘₯ 2 𝑏π‘₯ 2 2𝑏𝑐 π‘₯ 𝑐 2 𝑐 2π‘₯ 2 (π‘Ž2 π‘Ž)π‘₯ 4 2π‘Žπ‘π‘₯ 3 (𝑏 2 2π‘Žπ‘ 𝑏)π‘₯ 2 2𝑏𝑐π‘₯ (𝑐 2 𝑐) 2π‘₯ 2Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 15 dari 29Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperolehπ‘Ž2 π‘Ž 0 π‘Ž(π‘Ž 1) 0 π‘Ž 0 (𝑇𝑀) atau π‘Ž 12π‘Žπ‘ 0 π‘Ž 0 (𝑇𝑀) atau 𝑏 0𝑏 2 2π‘Žπ‘ 𝑏 2 2π‘Žπ‘ 2 2𝑐 2 𝑐 1Dari kasus ini 𝑝(π‘₯) yang memenuhi adalah 𝑝(π‘₯) π‘₯ 2 1, sehingga 𝑝(10) (10)2 1 101.Jadi jumlah semua nilai 𝑝(10) yang mungkin adalah 20 101 121.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 16 dari 2911. Misalkan {π‘₯𝑛 } adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi π‘₯1 π‘₯2 π‘₯12 0, π‘₯13 2, danuntuk setiap bilangan asli 𝑛 berlaku π‘₯𝑛 13 π‘₯𝑛 4 2π‘₯𝑛 . Nilai π‘₯143 adalah .Pembahasan:Perhatikan, kita akan mencoba menguraikan kombinasi linear dari bilangan 143 terhadap bilangan9 dan 13, sehingga diperoleh9𝑝 13π‘ž 143 9𝑝 143 13π‘ž 9 𝑝 13 (11 π‘ž)Sehingga, terdapat dua penyelesaian bulat untuk 9𝑝 13π‘ž 143, dengan 𝑝, π‘ž bilangan cacah. 𝑝 13, sehingga 11 π‘ž 9 π‘ž 2, sehingga (𝑝1 , π‘ž1 ) (13, 2) 𝑝 0, sehingga 11 π‘ž 0 π‘ž 11, sehingga (𝑝2 , π‘ž2 ) (0,11)Padahal, untuk π‘₯𝑛 13 π‘₯𝑛 4 2π‘₯𝑛 , rumus umumnya untuk 𝑛 9𝑝 13π‘ž adalahπ‘˜π‘ π‘žπ‘– 1π‘₯𝑛 2π‘žπ‘– ( 𝑖)𝑝𝑖𝑖 1Sehingga,1410) 211 ( )130 4 14 2048 1 56 2048 2104π‘₯𝑛 22 (Cara alternatif:Jika kita uraikan secara terus menerus, maka kita juga akan bertemu pola kombinatorik pada sukusuku yang dihasilkan. Perhatikan,11π‘₯143 20 ( ) π‘₯134 21 ( ) π‘₯1300120 21 2 2 ( ) π‘₯125 2 ( ) π‘₯121 22 ( ) π‘₯117012 10101010 20 ( ) π‘₯53 21 ( ) π‘₯49 22 ( ) π‘₯44 210 ( ) π‘₯1301012Jadi, rumus umum penjabaran dari π‘₯143 hingga langkah ke-π‘˜ adalahπ‘˜π‘˜π‘₯𝑛 2𝑖 ( ) π‘₯𝑛 9π‘˜ 4𝑖𝑖𝑖 0Nah, jika kita perhatikan seksama pola yang terbentuk, hanya suku dari penjabaran tersebut haruskita uraikan menjadi π‘₯13 , jika tidak dapat diuraikan menjadi π‘₯13 maka nilainya nol, mengingatbahwa π‘₯1 π‘₯2 π‘₯12 0.Sehingga, kita akan mencoba menguraikan bilangan 13 dari pengurangan bilangan 143 olehkombinasi linear dari 9 dan 4, sehingga diperoleh13 143 9(14) 4(1)13 143 9(10) 4(10)Jadi, nilai dari π‘₯143 dapat diperoleh untuk (π‘˜1 , 𝑖1 ) (14,1) dan (π‘˜2 , 𝑖2 ) (10,9)1410π‘₯143 21 ( ) π‘₯13 210 ( ) π‘₯13 2 14 2 1024 1 2 56 2048 2104110Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 17 dari 2912. Untuk setiap bilangan real 𝑧, βŒŠπ‘§βŒ‹ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau samadengan 𝑧. Jika diketahui ⌊π‘₯βŒ‹ βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝑦 43,8 dan π‘₯ 𝑦 ⌊π‘₯βŒ‹ 18,4. Nilai 10(π‘₯ 𝑦) adalah .Pembahasan:Perhatikan, misal 0 𝛿 1, maka untuk setiap 𝑧 bilangan real berlaku:𝑧 βŒŠπ‘§βŒ‹ 𝛿𝑧Dari persamaan ⌊π‘₯βŒ‹ βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝑦 43,8, diperoleh⌊π‘₯βŒ‹ βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝑦 43,8 ⌊π‘₯βŒ‹ βŒŠπ‘¦βŒ‹ βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿𝑦 43,8⌊π‘₯βŒ‹ 2βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿𝑦 43,8 Sehingga diperoleh, ⌊π‘₯βŒ‹ 2βŒŠπ‘¦βŒ‹ 43 dan 𝛿𝑦 0,8.Dan dari persamaan π‘₯ 𝑦 ⌊π‘₯βŒ‹ 18,4 diperolehπ‘₯ 𝑦 ⌊π‘₯βŒ‹ 18,4 ⌊π‘₯βŒ‹ 𝛿π‘₯ βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿𝑦 ⌊π‘₯βŒ‹ 18,4βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿π‘₯ 𝛿𝑦 18,4 βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿π‘₯ 0,8 18,4 βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿π‘₯ 17,6 Sehingga diperoleh βŒŠπ‘¦βŒ‹ 17, dan 𝛿π‘₯ 0,6.Perhatikan kembali bahwa ⌊π‘₯βŒ‹ 2βŒŠπ‘¦βŒ‹ 43, sehingga diperoleh⌊π‘₯βŒ‹ 2βŒŠπ‘¦βŒ‹ 43 ⌊π‘₯βŒ‹ 2(17) 43⌊π‘₯βŒ‹ 34 43 ⌊π‘₯βŒ‹ 9 Jadi, diperoleh nilai π‘₯ dan 𝑦 adalahπ‘₯ ⌊π‘₯βŒ‹ 𝛿π‘₯ 9 0,6 9,6𝑦 βŒŠπ‘¦βŒ‹ 𝛿𝑦 17 0,8 17,8Jadi, nilai 10(π‘₯ 𝑦) 10(9,6 17,8) 10(27,4) 274.Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 18 dari 2913. Misalkan 𝐴𝐡𝐢𝐷 adalah trapesium siku-siku dengan 𝐴𝐡 sejajar 𝐷𝐢 dan 𝐴𝐡 tegak lurus 𝐴𝐷. Misalkanjuga 𝑃 adalah titik potong diagonal 𝐴𝐢 dan 𝐡𝐷. Jika perbandingan luas segitiga 𝐴𝑃𝐷 dan luas𝐴𝐡trapesium 𝐴𝐡𝐢𝐷 adalah 4 : 25 maka nilai 𝐷𝐢 adalah .Pembahasan:Perhatikan trapesium 𝐴𝐡𝐢𝐷 berikut.𝑃 adalah titik potong diagonal 𝐴𝐢 dan 𝐡𝐷.𝐷Misal,𝑄𝐴𝐡 π‘š 𝐴𝐡 π‘š 𝐷𝐢𝐷𝐢𝐢𝑃𝑅𝐴Sehingga, dari perbandingan luas segitiga 𝐴𝑃𝐷 dantrapesium 𝐴𝐡𝐢𝐷 diperoleh1 𝐴𝐷 𝑃𝑄[𝐴𝑃𝐷]2 [𝐴𝐡𝐢𝐷] 1(𝐴𝐡 𝐷𝐢)2 𝐴𝐷 4𝑃𝑄 25 𝐴𝐡 𝐷𝐢4𝑃𝑄 25 (1 π‘š)𝐷𝐢𝐡Padahal, dari kesebangunan segitiga 𝐴𝐡𝐷 dan segitiga 𝐢𝐴𝐡, diperoleh 𝑃𝑄 𝑃𝑅.Sedangkan, dari kesebangunan 𝐴𝑃𝑄 dan 𝐴𝐢𝐷 serta 𝐡𝑃𝑅 dan 𝐡𝐷𝐢 diperoleh.𝐴𝑄𝑃𝑄𝐴𝐡 𝑃𝑅 𝐷𝑄 𝐷𝐢 𝑃𝑄𝑃𝑅Maka,𝑃𝑄 2 (𝐷𝐢 𝑃𝑄)(𝐴𝐡 𝑃𝑄) 𝑃𝑄 2 𝑃𝑄 2 (1 π‘š) 𝐷𝐢 𝑃𝑄𝑃𝑄 𝐷𝐢 (𝐷𝐢 𝑃𝑄)(π‘š 𝐷𝐢 𝑃𝑄) π‘š 𝐷𝐢 2 (1 π‘š) 𝐷𝐢 𝑃𝑄 𝑃𝑄 2 π‘š 𝐷𝐢 2π‘š (1 π‘š)Sehingga,4𝑃𝑄4π‘š 25 (1 π‘š)𝐷𝐢25 (1 π‘š)2 4(1 π‘š)2 25π‘š 4 8π‘š 4π‘š2 25π‘š 4π‘š2 17π‘š 4 0 (4π‘š 1)(π‘š 4) 01 π‘š atau π‘š 44𝐴𝐡1𝐴𝐡Jadi, perbandingan 𝐷𝐢 4 atau 𝐷𝐢 4.Catatan penulis:Pembuat soal kurang wasp

OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018 OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA) Disusun oleh: Pak Anang . Pembahasan Soal OSK SMA 2018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018 OSK Matematika SMA (Olimpiade