PROBLEMAS DE PROBABILIDAD PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE .

1y ago
64 Views
2 Downloads
527.42 KB
19 Pages
Last View : 3d ago
Last Download : 3m ago
Upload by : Mara Blakely
Transcription

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)1PROBLEMAS DE PROBABILIDAD PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EvAU–EBAU–PEBAU– O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 2017En las páginas que siguen están resueltos todos los problemas propuestos en la selectividad de2017 (en las convocatorias de junio y septiembre). En siete distritos universitarios nopropusieron problemas de este bloque. Andalucía, junio y septiembre 2017. No se ha propuesto ninguna pregunta de Probabilidad.1. Aragón, junio 20174A. (1 punto) En una clase de bachillerato hay 10 chicas y 8 chicos. De ellos 3 chicas y 4chicos juegan al ajedrez. Si escogemos un estudiante al azar, determine las siguientesprobabilidades:a) (0,5 puntos) Sea chica y no juegue al ajedrez.b) (0,5 puntos) No juegue al ajedrez sabiendo que es chico.Solución:Sean M y H los sucesos ser chica y chico, respectivamente; y sea A el suceso jugar al ajedrez,y A su contrario.Se conocen las siguientes probabilidades:10834P( M ) ; P(H) ; P( A / M ) ; P( A / H ) 1818108Puede hacerse un diagrama de árbol como el siguiente.a) La probabilidad de que sea chica y no juegue al ajedrezes:10 77P M A P(M )·P A / M · .18 10 18 b) La probabilidad de que no juegue al ajedrez sabiendoque es chico viene dada por la fórmula de Bayes:8 4·P( H )·P H / A1P A/ H 18 8 .8P H 218 2. Aragón, junio 20174B. (1 punto) En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sinverla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola.a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?b) (0,5 puntos) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcule la probabilidad de que laprimera bola extraída fuera negra también.Solución:Sean B y N los sucesos extraer bola blanca o negra.Con los datos del problema se construye el diagrama deárbol ajunto.a) La probabilidad de que la segunda bola extraída seanegra es:P 2ª N P(1ª B)·P 2ª N /1ª B P(1ª N )·P 2ª N /1ª N 10 3 3 2 30 6 3· · .13 12 13 1215613http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)2b) Por Bayes, la probabilidad de que la primera bola fuese negra si la segunda bola extraída hasido negra es:3 2P(1ª N )·P 2ª N /1ª N 13·12 2 1 P 1ª N / 2ª N .3P 2ª N 12 6133. Aragón, septiembre 20174A. (1 punto) Se dispone de dos cajas con bolas blancas y negras. La caja A contiene 6 bolasblancas y 3 negras; y la caja B contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se lanza un dado y si salepar se sacan dos bolas de la caja A, una tras otra, sin reponer ninguna. Por su parte, si saleimpar al lanzar el dado se sacan dos bolas de la caja B, también una tras otra, sin reponerninguna.¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas?Solución:65La probabilidad de sacar dos bolas blancas de la caja A es: P BB / CajaA ·9843La probabilidad de sacar dos bolas blancas de la caja B es: P BB / CajaB ·981Al lanzar un dado, la probabilidad de par es igual que la de impar: P par P impar .2Por tanto, por la expresión de la probabilidad total, se tiene que la probabilidad de extraerexactamente dos bolas blancas será:1 6 5 1 4 3 427P BB P par ·P BB / CajaA P impar ·P BB / CajaB · · · · . 2 9 8 2 9 8 144 244. Aragón, septiembre 20174B. (1 punto) En una clase de bachillerato, el 60% de los alumnos aprueban matemáticas, el50% aprueban inglés y el 30% aprueban las dos asignaturas. Calcule la probabilidad de queun alumno elegido al azar:a) (0,5 puntos) Apruebe alguna de las dos asignaturas (una o las dos).b) (0,5 puntos) Apruebe Matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés.Solución:Sean M e I los sucesos aprobar matemáticas e inglés, respectivamente.Se sabe que:P M 0,60 , P I 0,50 ; P M I 0,30 .a) Por la probabilidad de la unión de sucesos:P M I P M P I P M I 0,60 0,50 – 0,30 0,80.b) Por la probabilidad condicionada:P M I 0,30P M / I 0, 60 .P I 0,50Puede hacerse un diagrama de Venn como el adjunto.http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)35. Asturias, junio 174A. Una urna A contiene tres bolas numeradas del 1 al 3 y otra urna B, seis bolas numeradasdel 1 al 6. Se elige, al azar, una urna y se extrae una bola.a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bola con el número 1? (1,25 puntos)b) Si extraída la bola resulta tener el número 1, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de laurna A? (1,25 puntos)Solución:Se hace el diagrama de árbol adjunto.a) Por la fórmula de la probabilidad total:P 1 P( A)·P 1/ A P( B)·P 1/ B 11 11 3 1 · · .2 3 2 6 12 4b) Por Bayes:11·P( A)·P 1/ A 4 22 3 .P A /1 1P 1 6 346. Asturias, junio 174B. En una asociación benéfica se reparten dos productos, harina y leche. Todas las personasque entran cogen dos unidades a elegir entre los dos tipos de producto. El 70% de las personasque entran cogen harina y el 40% los dos productos. Calcula:a) La probabilidad de que una persona que entre coja leche. (1 punto)b) La probabilidad de que una persona que entre coja un solo tipo de producto. (0,5 puntos)c) Una persona que sale de la asociación lleva leche. ¿Cuál es la probabilidad de que hayacogido también harina? (1 punto)Solución:Sean H y L los sucesos coger harina o leche, respectivamente. (Debe suponerse que laprobabilidad de coger cualquiera de esos productos es la misma).Si se cogen dos productos sucesivamente pueden darse los casos:H y H, H y L, L y H, L y L HH, HL, LH y LL (todos sucesos incompatibles).En los tres primeros casos se ha cogido harina, siendo: P(HH, HL, LH) 0,70.También se sabe que P(HL, LH) 0,40.Y, por supuesto, P(HH, HL, LH, LL) 1.Como los cuatro sucesos son incompatibles, se cumple que:P(HH, HL, LH, LL) P(HH) P(HL) P(LH) P(LL) 1.a) Como P(HH, HL, LH) P(HH) P(HL, LH) 0,7 P(HH) 0,4 0,7 P(HH) 0,3.Los casos en los que se coge leche son: HL, LH y LL. (Todos menos el caso HH).Por tanto:P(coger leche) P(L) P(HL, LH, LL) 1 – P(HH) 1 – 0,3 0,7.La probabilidad de coger solo leche es:P(LL) P(HL, LH, LL) – P(HL, LH) 0,7 – 0,4 0,3.b) La probabilidad de coger un solo producto, suceso HH o LL es:P(HH, LL) 0,3 0,3 0,6.c) P( H / L) P H L P ( L) http://www.matematicasjmmm.com0, 4 4 .0, 7 7José María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)47. Asturias, julio 174A. En una cierta enfermedad el 60% de los pacientes son hombres y el resto mujeres. Con eltratamiento que se aplica se sabe que se curan un 70% de los hombres y un 80% de lasmujeres. Se elige un paciente al azar.a) Calcula la probabilidad de que se cure de la enfermedad. (1,25 puntos)b) Si un paciente no se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1.25 puntos)Solución:Sean los sucesos:H hombre; M mujer; C se cura; C no se cura.a) Por la probabilidad total:P C P( H )·P C / H P(M )·P C / M 0,60 · 0,70 0,40 · 0,80 0,74. b) La probabilidad de que un paciente no se cure es: P C 1 P C 1 0,74 0, 26 . La probabilidad de que una mujer que reciba el tratamiento no se cure es: P C / M 0, 20 .Por Bayes: P M /C P( M )·P C / M P C 0, 40·0, 20 0, 268 30,8%268. Asturias, julio 174B. De una baraja española Daniel y Olga extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes.Con esas 8 cartas Olga da dos cartas a Daniel y posteriormente una para ella. Calcula:a) La probabilidad de que Daniel tenga dos ases. (0,75 puntos)b) La probabilidad de que Daniel tenga un as y un rey. (0,75 puntos)c) La probabilidad de que Olga tenga un as y Daniel no tenga dos reyes. (1 punto)Solución:a) Hay 8 cartas, 4 de ellas ases (A); las otras 4, reyes (R).43 3P AA P 1ª A ·P 2ª A /1ª A · .8 7 1444 4b) P AR P 1ª A ·P 2ª R /1ª A P 1ª R ·P 2ª A /1ª R 2· · .87 7c) Como Daniel recibe las cartas en primer lugar, la secuencia de cartas para que Daniel noreciba dos reyes y Olga reciba un as debe ser: AA–A, AR–A y RA–A. Su probabilidad es:432 443 443 5P AA A P AR A P RA A · · · · · · .8 7 6 8 7 6 8 7 6 14http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)59. Baleares, junio 17.Opción ASolución:a) Hay 36 resultados posibles: {(1, 1), (1, 2), (1, 6); ; (6, 1), (6, 6)} La suma 7 se da en seis casos: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).Por tanto:6 1P S7 .36 6 El producto de los resultados es impar cuando ambos resultados son impares.11 1P P · 22 4b) Dos sucesos A y B son independientes cuando P A B P A ·P B .En este caso:P S7 P 0 La suma 7 solo puede conseguirse con algún resultado par.11 1P S7 ·P P · 6 4 24En consecuencia, los sucesos estudiados no son independientes.10. Baleares, junio 17.Opción B.Solución:Se trata de una distribución normal N(100, 10).X X 100 Se tipifica haciendo el cambio Z . 10http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)6130 100 a) P X 130 P Z P Z 3 1 P Z 3 1 – 0,9987 0,0013 El10 0,13% de la población es superdotada.110 100 90 100b) P 90 X 110 P Z P 1 Z 1 10 10 0,8413 – (1 – 0,8413) 0,6826 68,26%k 100 c) P X k P Z 0, 70 En la tabla normal se obtiene10 k 100 0,525 k 100 10·0,525 105, 25 .10(El valor de Z se da aproximado, pues el valor de probabilidad 0,70 está entre 0,52 y 0,53).11. Baleares, septiembre 17.4A. El tiempo que un alumno puede estar concentrado y escuchar al profesor en una clase deMatemáticas se modela como una distribución normal de media 15 minutos y desviacióntípica 5 minutos.a) Hallar la probabilidad de que un alumno esté concentrado más de 20 minutos. (3 puntos)b) Hallar la probabilidad de que un alumno esté concentrado entre 10 y 30 minutos. (3 puntos)c) Nos dicen que la probabilidad de que un alumno esté concentrado más de x minutos vale0,75. Hallar este valor de x minutos. (4 puntos)Solución:Se trata de una distribución normal N(15, 5).X X 15Se tipifica haciendo el cambio Z . 520 15 a) P X 20 P Z P Z 1 1 P Z 1 1 – 0,8413 0,1587.5 20 15 10 15b) P 10 X 30 P Z P 1 Z 1 5 5 0,8413 – (1 – 0,8413) 0,6826.x 15 c) P X x P Z 0, 75 .5 x 15 En la tabla normal se obtiene el valor de Z tal que P Z 0, 75 ; ese valor es 0,675,5 valor intermedio entre 0,67 y 0,68. Por tanto, por la simetría de la curva, el valor correspondientex 15x 15 a P Z 0, 675 k 15 5·0, 675 11, 625 . 0, 75 será –0,675. Luego55 http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)712. Baleares, septiembre 17.4B. Suponemos que los estudiantes de la UIB solo tienen dos sistemas operativos en susteléfonos móviles: android y IOS (el de los iphone). El 80% de los estudiantes de la UIBtienen el sistema operativo android. El 25% de las chicas estudiantes de la UIB tienen IOS ensu teléfono móvil y el 45% de los estudiantes de la UIB son chicos.a) Hallar la probabilidad de que un muchacho de la UIB tenga IOS en su teléfono móvil.(6 puntos)b) Hallar la probabilidad de que un estudiante que tenga android en el teléfono móvil seachica. (4 puntos)Solución:Consideramos los sucesos:A tener android; I tener IOS; H ser muchacho; M ser chica.Se tiene los siguientes datos, más los que se deducen de manera inmediata:P A 0,80 P I 0, 20 .P I / M 0, 25 P A / M 0,75 .P H 0, 45 P M 0,55a) Por la probabilidad total:P I P H ·P I / H P M P I / M 0, 20 0, 45·P I / H 0,55·0, 25 0, 20 0, 45·P I / H P I / H b) Por Bayes:P M / A P M P A / M P A 0, 20 0,1389 .0, 450,55·0, 75 0,5156 .0,80 Cantabria, junio y septiembre 17. No han puesto ningún problema de Probabilidad.13. Castilla y León, junio 17(Opción A) E5.- Se lanzan dos dados (con forma cúbica) al aire. ¿Cuál es la probabilidad de quela suma de los puntos sea 8? (1 punto)Solución:Hay 36 resultados posibles, todos equiprobables.E {(1, 1), (1, 2), , (1, 6), (2, 1), , (2, 6), , (5, 6), (6, 6)}Hay 5 casos favorables a suma 8, los sucesos: (2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2).Por tanto:5P(suma 8) .3614. Castilla y León, junio 17(Opción B) E5.- La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es1. ¿Cuál es la2probabilidad de sacar 3 caras en tres lanzamientos? (1 María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)8Los sucesos cara o cruz son independientes en cada nuevo lanzamiento, siendo su1probabilidad P(C ) P( X ) .2Por tanto:111 1P(CCC ) · · .222 815. Castilla y León, septiembre 17(Opción A) E5.- De una bolsa con 2 bolas blancas, 2 negras y 2 amarillas se extraen dos sindevolución (es decir, una vez extraída una bola no se vuelve a poner en la bolsa). Calcular laprobabilidad de que las dos sean blancas. (1 punto)Solución:2La probabilidad de extraer blanca la primera vez es P( B) ; la probabilidad de que la segunda61bola sea blanca si la primera ha sido blanca será: P 2ª B /1ª B .5Por tanto, la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas será:21 1P( BB) · 6 5 1516. Castilla y León, septiembre 17(Opción B) E5.- Se tiran al aire, simultáneamente, un dado (con forma cúbica) y una moneda.Teniendo en cuenta que los sucesos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que en eldado salga un 5 y de que en la moneda salga cara? (1 punto)Solución:1La probabilidad de que salga un 5 es P(5) .61La probabilidad de que salga cara con la moneda es P(C ) .2Como son sucesos independientes, la probabilidad de salga un 5 y una cara será:11 1P 5, C · .6 2 1217. Castilla–La Mancha, junio 175A. a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de lasresistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6% de lasresistencias producidas por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C.Se selecciona al azar una resistencia:a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. (0,75 puntos)a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.(0,5 puntos)b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamentela probabilidad de:b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B. (0,75 puntos)b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B. (0,5 puntos)Solución:a) Puede confeccionarse el diagrama de árbol que sigue.http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)9La letra D designa que la resistencia es defectuosa; Bu indica queestá bien.a1) P( D) P( A)·P( D / A) P( B)·P( D / B) P(C)·P( D / C) 0,50 · 0,06 0,30 · 0,05 0,20 · 0,03 0,051.a2) P( A / D) P A D P ( D) 0,50·0, 06 0, 030 30 10 .0, 0510, 051 51 17b) La probabilidad de que una resistencia sea fabricada por B es P( B) 0,30 ; que sea fabricada por otro, A o C, es P B 0, 70 .Elegir 5 resistencias al azar y determinar cuántas de ellas han sido fabricadas por B, puedeestudiarse como una binomial B(5, 0,3).Si X mide el número de resistencias fabricadas por B, se tiene: 5 b1) P X 3 ·0,33·0, 7 2 0,1323. 3 5 5 b2) P X 2 1 P X 0 P X 1 1 ·0,30·0, 75 ·0,31·0, 74 0 1 1 – 0,16807 – 0,36015 0,47178.18. Castilla–La Mancha, junio 175B. a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo unaestantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidadde que:a1) El libro elegido sea de matemáticas. (0,75 puntos)a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B. (0,5 puntos)b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normalde media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos. (0,75 puntos)b2) ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33% de los usuarios? Razona larespuesta. (0,5 puntos)Solución:a) La situación se resume en el siguiente diagrama de árbol.La letras N, E y M indican que el libro elegido ha sido una Novela, un Ensayo o deMatemáticas, respectivamente.a1) P(M ) P( A)·P(M / A) P(B)·P(M / B) 1 10 1 8 13 · · .2 40 2 20 401 8P B M 2·20 8 .a2) P( B / M ) 13P( M )1340http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)10b) La distribución es una normal N(15, 5) Se tipifica haciendo el cambio Z X 15.513 15 b1) P X 13 P Z P Z 0, 4 1 P Z 0, 4 1 – 0,6554 0,3446.5 b2) Sea m el número de minutos buscado.m 15m 15 P X m 0,33 P X m 0,67 P Z 0, 44 0, 67 55 m 17,2 minutos.19. Castilla–La Mancha, septiembre 175A. a) En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicosen placas de circuito impreso. El 25% de los componentes son soldados por el robot A, el20% por el B y el 55% por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga undefecto de soldadura es de 0,03 si ha sido soldado por el robot A, 0,04 por el robot B y 0,02por el robot C.a1) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defectode soldadura. (0,75 puntos)a2) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamentela probabilidad de que haya sido soldada por el robot C. (0,5 puntos)b) Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es 0,6. Calcularazonadamente la probabilidad de:b1) Obtener exactamente tres caras. (0,75 puntos)b2) Obtener más de tres caras. (0,5 puntos)Solución:a) Es un problema idéntico al propuesto en junio. Puede confeccionarse el diagrama de árbolcomo se hizo en junio.Si D designa que la placa es defectuosa, se tendrá:a1) P( D) P( A)·P( D / A) P( B)·P( D / B) P(C)·P( D / C) 0,25 · 0,03 0,20 · 0,04 0,55 · 0,02 0,0265.a2) P C / D) P C D P ( D) 0,55·0, 02 0, 011 110 0, 415 .0, 02650, 0265 265 b) La probabilidad de obtener P(C ) 0,6 ; la de obtener cruz, P C 0, 40 .El experimento en lanzar cinco veces esa moneda y contar el número de caras que se obtienenpuede estudiarse como una binomial B(5, 0,6).Si X mide el número de caras obtenidas en los cinco lanzamientos, se tiene: 5 b1) P X 3 ·0, 63·0, 42 10·0,3456 0,3456 . 3 5 5 b2) P X 3 P X 4 P X 5 ·0, 64·0, 4 ·0, 65 4 5 5 · 0,05184 0,07776 0,33696.http://www.matematicasjmmm.comJosé María Martínez Mediano

PROBABILIDAD (EvAU–EBAU 2017)1120. Castilla–La Mancha, septiembre 175B. a) De una urna que contiene tres bolas blancas y dos bolas rojas extraemos,sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de:a1) Que la segunda bola extraída sea blanca. (0,75 puntos)a2) Si la segunda bola extraída ha sido blanca, que la primera fuera roja. (0,5 puntos)b) El tiempo de duración de las llamadas telefónicas a cierta centralita se distribuye según unadistribución normal de media 5 minutos y varianza 4. Calcula razonadamente:b1) La probabilidad de que una llamada dure menos de 4,5 minutos. (0,75 puntos)b2) El tiempo de duración que no es superado por el 33% de las llamadas. (0,5 puntos)Solución:a) La secuencia y las respectivas probabilidades es la que se indica en el siguiente diagramade árbol.a1)P(2ª B) P(1ª B)·P(2ª B /1ª B) P(1ª R)·P(2ª B /1ª R) 3 2 2 3 12 3 · · .5 4 5 4 20 523·P(1ª R)·P(2ª B /1ª R)1a2) P(1ª R / 2ª B) 54 .12 2P 2ª B 20b) Si la varianza es 4 2. La distribución es una normal N(5, 2) Se tipifica haciendoX 5el cambio

Puede hacerse un diagrama de árbol como el siguiente. a) La probabilidad de que sea chica y no juegue al ajedrez es: ( )· / · 10 7 7 18 10 18 P M A P M P A M . b) La probabilidad de que no juegue al ajedrez sabiendo que es chico viene dada por la fórmula de Bayes: ( )· / / P H P H A P A H PH 1 84 · 18 8